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SUJETS DE LA PREMIERE EPREUVE ORALE DU CAPES DE MATHS 1998
Sujets oraux 2 1998
  1. Cardinal de l'ensemble Ap des p-listes d'éléments d'un ensemble fini A. Dénombrement des arrangements et des permutations. Exemples de situtations dont l'étude se ramène au cas précédents.
  2. Coeffcients binomiaux, dénombrement de combinaisons, formule du binôme. Applications.
  3. Description mathématique d'une expérience aléatoire: ensemble des événements élémentaires, événements, probabilité (on se limitera au cas où l'ensemble des événements élémentaires est fini.
  4. Probabilité conditionnelle; indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l'ensemble d'épreuve est fini. Applications à des calculs de probabilité.
  5. Variable aléatoire à valeurs réelles dont l'ensemble des valeurs est fini. Loi de probabilité, espérance mathématique, variance. Exemples.
  6. Schéma de Bernouilli, épreuves répétées, description à l'aide d'une variable aléatoire, espérance mathématique. Exemples
  7. Séries statistiques à deux variables numériques. Nuage de points associé. Ajustement affine par la méthode des moindes carrés. Droite de régression. Applications.
  8. Division euclidienne dans Z, unicité du quotient et du reste. Applications à l'arithmétique.
  9. Congruences dans Z. Anneaux Z/nZ.
  10. PGCD et PPCM de deux entiers naturels. Nombres premiers entre eux. Applications.
  11. Nombres premiers; existence et unicité de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers. Infinitude de l'ensemble des nombres premiers. Exemple(s) d'algorithme(s) de recherche de nombres premiers.
  12. Construction du corps Q des rationnels.
  13. Introduction du corps C des complexes. Propriétés.
  14. Définition de ez pour . Propriétés. Etude de la fonction et, plus généralement, de , . Applications.
  15. Racines n-ièmes d'un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications.
  16. Module et argument d'un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications.
  17. Représentation géométrique des nombres complexes. Interprétation géométrique des applications , et où a et b appartiennent à C, a non nul. Exemples d'application à l'étude de configurations géométriques du plan.
  18. Fonction polynôme du second degré à coefficents réels. Mise sous forme canonique; application à l'étude du sens de variation et à la représentatioin graphique de la fonction. Equations et inéquatioins du second degré.
  19. Résolution de systèmes linéaires par opérations élémentaires sur les lignes et permutation des inconnues (méthode du pivot). Exemples.
  20. Caractérisation vectorielle d'une droite du plan. Représentations paramétriques. Génération des demi-droites, des segments. Parallélisme. Orthogonalité.
  21. Théorème de Thalès. Projection dans le plan et dans l'espace, caractère affine des projections.
  22. Equation cartésienne d'une droite du plan. Problèmes d'intersection, parallélisme. Condition pour que trois droites soient concourantes.
  23. Equation cartésienne d'une droite du plan euclidien. Application à l'étude d'inéquations de la forme a cos t+b sint t>c.
  24. Homothéties et translations; transformation vectorielle associée. Invariants élémentaire : effet sur les directions, l'alignement, les distances... Application à l'action sur les configurations usuelles.
  25. Réflexion du plan échangeant deux points donnés : médiatrice, régionnement associé. Applications au triangle et au cercle (cercle circonscrit, angle inscrit...)
  26. Réflexions du plan échangeant deux droites concourantes données, bissectrices. Applications au triangle et au cercle (cercle inscrit, tangentes à un cerlce...).
  27. Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle (dans l'ordre que l'on voudra).
  28. Droites remarquables du triangle : bissectrices, hauteurs,,médianes, médiatrices... (dans l'ordre que l'on voudra).
  29. Réflexions et rotations du plan. Invariants élémentaires : effet sur les distances, l'alignement, les angles. Application à l'action sur les configurations usuelles.
  30. Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d'angles, optimisation...).
  31. Définition et propriétés du produit scalaire dans le plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d'angles, optimisation...).
  32. Le cercle. positions relatives d'une droite et d'un cercle, de deux cercles. Point de vue géométrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue.
  33. Relations métriques dans un triangle rectangle. Trigonométrie. Applications.
  34. Relations métriques et trigonométriques dans un triangle quelconque. Applications.
  35. Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l'espace orienté: calculs de distance, d'aires, de volumes, d'angles...
  36. Etude de l'application . Définiton et propriétés du barycentre de n points pondérés. Associativité; application à la détermination de barycentres attachés à des configurations usuelles du plan, de l'espace.
  37. Dans le plan étude de la fonction et de ses lignes de niveau. Transformation MA2+MB2 et MA2-MB2. Interprétations géométriques, mécaniques
  38. Composées d'homothéties et de translations du plan. Relation vectorielle caractéristique. Invariants élémentaires : effet sur les directions, les distance, les angles... Groupe des homothéties-translations.
  39. Groupe des isométries du plan : décomposition d'une isométrie en produit de réflexions, groupe des déplacements, classification des isométries à partir de l'ensemble des points invariants.
  40. Composée d'une homothétie de rapport positif et d'une rotation de même centre; effet sur les distances, conservation des angles orientés. Similitudes directes. Ecriture complexe. Groupe des similitudes directes.
  41. Recherche des isométries du plan conservant un polygone régulier; exemples (triangles équilatéral, carré, hexagone, ocotgone,...).
  42. Droites et plans dans l'espace. Equations. Positions relatives; plans contenant une droite donnée.
  43. Orthogonalité dans l'espace affine euclidien : droites orthogonales, droite orthogonale à un plan, plans perpendiculaires. Applications.
  44. Projection orthogonale d'un cercle sur un plan. Affinité orthogonale. Applications.
  45. Réflexion de l'espace échangeant deux points donnés; plan médiateur, régionnement associé. Etude des isométries de l'espace ayant une droite de points invariants.
  46. Réflexions et rotations de l'espace. Invariants élémentaires : effet sur les distances, les angles... Applications à l'action sur les configurations usuelles.
  47. Courbes définies par des équations paramétriques dans le plan. Vecteur ddérivé et tangente; interprétation cinématique.
  48. Définitions de la parabole, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces définitions. Construction de la tangente et de la normale en un point.
  49. Définitons de l'ellipse, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces définitions.
  50. Définitions de l'hyperbole, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces définitions.
  51. Exemples de réprésentation paramétrique des coniques; construction de la tangente et de la normale en un point à une parabole, une ellipse, une hyperbole.
  52. Suites monotones, suites adjacentes. Application à l'approximation d'une nombre réel, au développement décimal.
  53. Suites convergentes. Opérations algébriques, composition par une application continue. Comparaison de suties entre elles.
  54. Exemples d'accélération de la convergence pour une suite réelle.
  55. Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application.
  56. Etude des suites de terme général an, nb et n!. Croissances comparées. Exemples de comparaison de suites aux suites précédentes.
  57. Etude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence un+1=f(un) et une condition initiale.
  58. Etude des suites définies par une relation de récurrance du type un+1=aun+b : terme général, discussion selon les valeurs de a et b, somme des premiers termes, comportement asymptotique... Exemples
  59. Limiter finie d'une fonction à valeurs réelles en un point a de R. Opérations algbriques sur les limites. Exemples.
  60. Limite à l'infini d'une fonction à valeurs réelles. Branches infinies de la courbe représentative d'une fonction. Exemples.
  61. Fonctions à valeurs réelles continues en un point a de R. Opérations algébriques, composition. Prolongement par continuité d'une fonction en un point. Image d'une suite convergente par une fonction continue.
  62. Image d'un intervalle par une fonction continue, image d'un segment. Continuité de la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle.
  63. Fonctions réciproques. Exemples.
  64. Méthodes d'approximation d'une solution d'une équation numérique réelle. Exemples
  65. Fonctions polynômes.
  66. Fonctions logarithmes.
  67. Fonctions exponentielles.
  68. Croissance comparée des fonctions , et au voisinage de . Applications
  69. Dérivée en un point. Interprétation géométrique. Exemples.
  70. Fonctions dérivées. Opérations algébriques. Dérivée d'une fonction composée. Exemples.
  71. Formules de Taylor. Applications.
  72. Développements limités, opérations sur les développements limités.
  73. Applications du calcul différentiel à la recherche d'extremums (maximum et minimum) d'une fonction numérique d'une variable réelle. Exemples
  74. Comparaison des fonctions : domination, prépondérance, équivalence. Exemples et applications.
  75. Emploi du calcul différentiel pour l'étude locale de la position de la courbe représentative d'une fonction par rapport aux tangentes et aux sécantes.
  76. Fonctions convexes.
  77. Théorème de Rolle. Applications.
  78. Inégalités des accroissements finis. Exemples d'applications à l'étude de suites et de fonctions.
  79. Caractérisation des fonctions , où a appartient à R, par l'équation fonctionnelle : f(x.y)=f(x).f(y). Applications
  80. Caractérisation des fonctions exponentielles par l'équation fonctionnelle : f(x+y)=f(x).f(y). Applications.
  81. Caractérisation de la fonction exponentielle , où a appartient à R, par l'équation différentielle y'=ay et une condition initiale. Applications
  82. Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre. Exemples.
  83. Primitive d'une fonction continue sur un intervalle; définition et propriétés de l'intégrale, inégalité de la moyenne. Applications.
  84. Intégration par parties. Exemples de changements de variables. Applications.
  85. Divers méthodes de calcul approché d'intégrales définies : trapèzes, Simpson...
  86. Etude de l'application qui, à tout nombre réel x, associe . Application à une définition des fonctions trigonométriques.
Mis à jour 25 janvier 2004.